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propiedades del numero aureo

Una propiedad interesante es que Phi es el único número real positivo que cumple lo siguiente:

 

Vamos a demostrarlo:

 

Esta propiedad se cumple con otras potencias de Phi:

 

Con todo esto podemos generalizar que:

 

La solución positiva es Phi, la negativa es el recíproco de Phi y se denomina con la letra , observamos que la solución negativa es la parte decimal de la positiva.

rectangulo aureo

-Rectángulo áureo. Se denomina rectángulo áureo o rectángulo de oro al rectángulo en que la base y la altura están en proporción áurea. Si a y b son los lados,  a/b = F
Algunas formas de construir este famoso rectángulo son:

Partiendo de un cuadrado.	A partir del triángulo 3-4-5	A partir del Triángulo rectángulo 1-2	Partiendo de un doble cuadrado

Una forma de reconocer si un rectángulo es áureo.

El rectángulo de oro, permite trazar una bella espiral, denominada espiral de oro.

En realidad es una falsa espiral, ya que está constituida por arcos de circunferencia  y por tanto no hay una variación continua del radio.

usos del numero aureo

Este número, esta proporción, rige el universo entero prácticamente, los griegos creían que era la medida de la proporción divina, de la belleza perfecta, y se encuentra en el universo entero, desde caracolas, la cara de los tigres, las aletas de los peces... hasta el crecimiento demográfico, la pintura, la música, la arquitectura, las proporciones de nuestro cuerpo, de nuestro ADN, de los girasoles... Lo extremedamente curioso y verdaderamente sorprendente reside en que no se encuentra sólo en cosas artificiales y "humanas" (que también), sino en la propia naturaleza y en cosas incontrolables.

pitagoras y el numero aureo

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras.

Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.

 

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.

Historia del número aureo

Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.
El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una línea recta está dividida entre el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Euclides en Los Elementos.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional.

Definicion del número áureo

 número áureo o de oro (también llamado razón extrema y mediarepresentado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional

Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte